15.3分式方程
一、含义:分母中含未知数的方程叫做分式方程。
二、解分式方程
(一)一般方法
1. 基本思路:将分式方程化为整式方程。
2. 具体做法:“去分母”,即方程两边同乘最简公分母。
3. 举例-解方程
解:方程两边同时乘(30+v)(30-v),得
90(30-v)=60(30+v)
解得v=6
检验:方程的左边=2.5=右边
所以v=6是该方程的解。
(二)检验
解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此应作如下检验:
将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解。
1. 解方程
解:方程两边同乘x(x-3),得
2x=3(x-3)
解得x=9
检验:当x=9时,x(x-3)≠0.
所以,原分式方程的解为x=9。
2. 解方程
解:等式两边同乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3
解得x=1
检验:当x=1时,(x-1)(x+2)=0,因此x=1不是该方程的解。
所以该方程无解。
三、分式方程在实际问题中的应用
(一)首先确定:已知条件中哪些等量关系可以用来列方程。
例题:两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的1/3,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成。哪个队的施工速度快?
解:甲队单独施工1个月完成总工程的,假设乙队单独施工1个月完成总工程的。
根据题意可得:
等式两边同乘6x,
解得x=1
检验:当x=1时,6x≠0
所以x=1是该方程的解,即乙队单独施工1个月可以完成总工程的全部。
答:乙队的施工速度快。
(二)表达问题时,用字母不仅可以表示未知数(量),也可以表示已知数(量)。
例题:某次列车平均提速v km/h。用相同的时间,列车提速前行使s km/h,提速后比提速前多行使50km,提速前列车的平均速度为多少?
解:设提速前列车的平均速度为x km/h。(一般都是根据问题设未知数)
根据题意可得
等式两边同乘x(x+v),
解得x=
检验:当x=时,x(x+v)≠0,所以x=是该方程的解。
答:提速前列车的平均速度为 km/h.
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