解直角三角形是锐角三角函数知识的延伸与升华,是对直角三角形三边之间的关系、两锐角之间的关系,以及边角之间关系的系统梳理与灵活应用;同时,解直角三角形也是解决测量等方面问题的重要手段之一.事实上,无论多复杂的解直角三角形问题,最终都可以归结为对直角三角形除直角外的五个基本元素(三边和两锐角)之间关系的探究.本文撷取几例,谈谈解直角三角形的基本策略.
一、有弦用弦
例1 如图1,在Rt⊿ABC中,∠C=90°,斜边c=8,∠B=60°,求直角边b的长.
解析: 已知条件中给出斜边(即弦)c和锐角B,求∠B的对边b,故应使用∠B的正弦.
由sinB=b/c,得b=c×sinB=8×sin60°
评注:当已知直角三角形的一锐角和斜边(弦),求此锐角的对边(或邻边),或已知一锐角及其对边(或邻边),求斜边(弦)时,应选用已知锐角的正弦(或余弦)关系式求解.即所谓有弦用弦.
二、无弦用切
例2 如图2,在Rt⊿ABC中,∠C=90°,a=30,∠B=30°,,求直角边b的长.
评注:当已知条件中未给出斜边(弦),也不需要求斜边(弦),即条件和结论仅与两直角边(勾、股)有关,而与斜边(弦)无关时,应选用已知锐角的正切(或余切)关系式求解.即所谓无弦用切.
三、宁乘毋除
例3 某条道路上通行车辆限速为60千米/时,在离道路50米的点P处建一个监测点,道路AB段为检测区(如图3).在⊿ABP中,已知∠PAB=29°,∠PBA=45°,一辆轿车通过AB段的时间为8. 2秒,请判断该车是否超速?
(参考数据:tan29°≈0.5543,tan61°≈1.8040,60千米/时=50/3米/秒)
评注 :本例在求AC的长度时,采取将PC与∠APC相乘的方法,计算简单不易失误.其实,在求的AC长度时,亦可由tan∠APC=PC/AC,得AC=PC/tan∠APC=50/tan29°≈50/0.5543≈90.2(米).显然,与将PC和tan∠APC相乘求AC相比,若采用将PC与tan∠PAC相除的方法,计算既繁琐且易出错.故在解直角三角形时,在保证计算结果尽可能精确的前提下,如果既可以采取相乘,也可以采用相除的方法求直角三角形某条边的长度,一般应遵循宁乘毋除的原则.当然,某些只能采取相除的方法来解决的问题例外,见下例.
例4 如图4,在Rt⊿ABC中,∠C=90°,直角边a=20,∠A=53°,求斜边c (结果保留整数).(参考数据:sin53°≈0. 7986 , cos53°≈0. 6018 , tan53°≈1. 3270 )
解析: 解答此例,求斜边,显然只能采取相除的方法.
四、化斜为直
当已知条件为斜三角形的边和角时,往往需要通过适当添加辅助线构造出直角三角形,进而转化为解直角三角形的问题,上述例3即为此类题.兹再举一例.
例5 如图5,某直升机于空中A处测得正前方地面控制点C的俯角为30°;若航向不变,直升机继续向前飞行1000m至B处,测得地面控制点C的俯角为45°?求直升机再向前飞行多远,与地面控制点C的距离最近(结果保留根号).
评注: 例3和例5是化斜为直的两个常见题型,可分别称为求和型、求差型.虽然化斜为直还有其他一些不同的变式,但与例3、例5相比,解题基本思路和方法并无二致,可谓万变不离其宗.
五、取原避中
例6 如图6,在Rt⊿ABC中,∠C=90°,斜边c=80,∠B=64°,求直角边a和b的长(精确到0.01).(参考数据:sin64°≈0. 8988 ,cos64°≈0. 4384 , tan64°≈2. 0503)
评注 :上述解题过程中,在求出a的值以后,若由tanB=b/a,可得b=a×tanB=35.072×tan64°≈35.072×2.0503≈71.91.显然,这与析解中使用关系式sinB=b/c求得的b的值略有差异.其原因在于,借助tanB=b/a求b,此关系式中的a是中间数据,非原始数据,而析解中求b的值时所选数据均为原始数据,避开中间数据,所求结果无疑更为精确.此例告诉我们,在解直角三角形时,如果既可使用原始数据,也可使用中间数据,要尽量使用原始数据;即做到取原避中.
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