数学中有很多抽象概念，人们一般认为这些抽象内容难懂，比如，罗素悖论（理发师悖论）。其实不然，当我们明白了科学抽象的特点，再来理解罗素悖论就不是难事。科学抽象不容易直接说明，我们先通过介绍数字抽象来帮助理解。

正整数的来源

来看一个具体例子。相信大家对正整数并不陌生，它应用得如此普遍，生活、生产都少它不得，哪怕没读过书的人都常常跟它打交道。在我们看来，好像正整数一直如此，它如此简单，如此纯粹；然而，当我们历史地考察它，就能发现正整数的秘密。原来它也来源于人们的实践，它也经历了从无到有的漫长发展的过程。接下来我们就来了解正整数的前世今生。

做一个简单的分类，正整数诞生的过程大致可分成数的抽象、数的系统、任意可能的数三个阶段，当然，这三个阶段并不是严格的顺序关系，总会有难以严格区分的上个阶段到下个阶段的过渡状态。

1.数的抽象

数的抽象过程大致分为三个阶段。在第一个阶段里，为了能够趋近足够程度的利，规避足够程度的害，从而存活下去，人们需要从整体上把握数的性质。具体来看，比如说，原始人在狩猎和采摘的时候就必须能判断猎物和果实的多少。哪棵树上果实多，那就先采哪棵树。对物体集合多少的判断是一种感性认识，人们从整体上把握，不需要具体分析，这是第一个阶段的特点。这就好比我们面前有两堆苹果，一堆以个为单位计，一堆以十个为单位计，我们瞄一眼就知道哪堆多哪堆少了。

但是很多时候仅定性地判断多少是不够的，人们还需要具体知道多了多少，少了多少。因此，就出现了掰指头数数，结绳计数等计数方法。这就到了第二个阶段的抽象，人们把数看成是物体集合的一种附属性质。这一阶段，人们想表达五个苹果时，很可能就会说手指一样多的苹果。

在实践中，人们大量地计数，发现神奇的手不仅可以数五个苹果，也可以数五头野猪，还可以数五只小鸟。于是，不知经过了多少次数数的过程，人们意识到不同的物体集合有一种公共的性质——等数性。就是有同样数量的集合可以用一个数来衡量。到此，人们就创造出了抽象的数，它表达了物体集合的数量特征。

2.数的运算与系统

仅有数是满足不了人们实践的需要的，很多时候人们采摘完果实要合到一块，重新数一遍就特别麻烦，加法就在这样的需要中诞生了。数字相加的时候会碰到一种特殊情况：很多个相同的数相加。这个时候，人们连加法也嫌麻烦，就创造了乘法。我们小学的时候都学过，2乘以3和3乘以2含义是不一样的，一个是3个2相加，一个是2个3相加，但他们有相同的结果6。在大量这样的例子中，人们发现了乘法是有交换律的，于是我们常常忽略乘法的具体含义加以形式地运用。有些时候吃掉了或者坏掉了一些果实，这就产生了减法。有一些时候，需要平分一堆物品，这就有了除法。

有了运算之后，数字就不再是一个个孤零零的，它们之间有着以运算表达的诸多关系，例如2、3、6间就有关系2乘以3等于6，2、3、5间有关系2加3等于5，2、3间还有关系2乘以3等于3乘以2……这样，所有的数字和运算一起构成了一个系统，具有一定的关系和规律。

3.数字符号与任意可能的数

原始人在采摘和狩猎的时候有一定的分工，需要彼此间互相协作。因此，人们计数不仅要自己心里清楚，还需要与同伴沟通，让他们也清楚。然而，数字是一种抽象的概念，是物体集合的一种共性，现实中不存在相应的实体。要表达，就得用一些记号来表示数字，慢慢地，就诞生了表达数字的符号。其实，不仅是数字，语言本身就是符号。符号不是表达数字的一件附属品，它跟数字紧紧融在一起，合为一体。如果我们说1，我们会想到表达数字的符号“1”，而不会想到具体的物体集合，比如1件衣服、一根香蕉，尽管1是从它们之中抽象出来的。

数字符号给了人们运用大数的可能性。如果靠数手指头计数，超过10就得用脚趾头了，超过20用上脚趾头也不够。结绳计数，超过100也就很难数清楚了，更不用说更大的数。但有了数字符号，人们就有可能对很大的数字计数和运算。最成功的数字符号体系就是印度人创建的阿拉伯数字，它最大的特点是位置计数，这给计数带来了极大的便利。

在运用大数的过程中，人们发现了正整数的一个特点：只要有个正整数，那么它就可以加1，加1，再加1。于是人们把具体的数字拓展到可能的数字，这构成了人们对无穷认识的原始来源之一。从此，正整数便是无穷的，具体含义是说正整数具有无限延续下去的潜在可能性。

数字抽象的三个阶段启示了科学抽象的原理。在这里，我们不对科学抽象做详尽地考察，仅就之前讲述中体现出的特点做一简短的说明。

科学抽象

在科学抽象中，实践和抽象交互作用。首先，实践提供了抽象的素材，抽象的成果服务于实践。其次，抽象是一系列的过程，前一阶段抽象的成果不仅是进一步实践的工具，也可以成为后一阶段抽象的来源。每一次抽象，都以之前实践和抽象的共同结果为基础。实践中提出的问题提供了抽象的动力和方向。

抽象以事物间的共性为前提，是在考察大量具体事物的基础上做出的。因此，抽象成果的应用范围就特别广泛。拿数字来说，凡是具有数量特征的事物，都可以成为数字应用的对象。

抽象成果的应用有其局限。例如1加1等于2，这是在大量具体的计数过程中抽象出来的，但并没有涵盖世界上所有可能的情况，因此它在应用时不得不考虑范围。一个苹果加一个苹果是两个苹果，一根香蕉加一根香蕉是两根香蕉，这都没有问题；但一升酒精加一升水就不是两升液体。

我们使用以上科学抽象的原理来探讨悖论问题。哲学中喜欢谈一个悖论：世间唯一不变的是变化本身。那这句话是不是会变化呢？其实，这句话不过是一个抽象的结论而已，它是在考察大量具体事物的基础上抽象来的，也正因如此，这句话也就有它的适用范围。它归纳的是具体事物的情况，并没有考虑抽象的事物。所有具体的事物都在变，这没有任何问题，至少历史发展到今天，人类认识到的所有具体事物都是变化的，没有一个反例。然而，抽象的事物不变的就太多了，不仅这句话不变，1加1等于2的关系也从未变过，今后也不会变；规律是永恒的这个结论也不会变；并不是自从地球诞生之日就存在人类这个论断也永远不变……

悖论自身并不是什么特别神奇的事情。我们说出现悖论，无非是和我们的逻辑发生冲突了，例如罗素悖论。或者和我们的直观发生冲突了，例如芝诺悖论中阿喀琉斯追乌龟的悖论。可是，逻辑出现矛盾是再正常不过的现象，只有现实世界自身永远不会互相冲突。我们使用罗素悖论来做以说明。

罗素悖论是用集合来描述的，不好理解，我们讨论容易理解的理发师悖论版本。一个地区只有一个理发师，他说：“我只给所有不给自己理发的人的理发。”那他给不给自己理发呢？如果不给自己理，按他说的话他就该给自己理；如果给自己理，按他说的话他就不该给自己理。无论怎样，都有矛盾。这到底是怎么回事呢？

其实，前面说过，逻辑完全可以违背，不能违背的是规律。只要明白这一点，罗素悖论就没有神奇的地方。而且，理发师说这话有其应用范围，不能应用到他自身上，这样就可以规避逻辑矛盾了。

如上，若不注意科学抽象的特点，得出陷入“死胡同”的悖论，便不是稀奇事。因此，应当考虑抽象成果的应用范围，逻辑只能且必然会尽量与现实世界相符合。数学的生命力的源泉就在于它的概念和结论尽管极其抽象，但却如我们所坚信的那样，它们是从现实中来的，并且在其他科学中，在技术中，在全部生活中都有广泛的应用。