互质数具有以下定理：
（1）两个数的.公因数只有1的两个非零自然数,叫做互质数；举例：2和3，公因数只有1，为互质数；
（2）多个数的若干个最大公因数只有1的正整数，叫做互质数；
（3）两个不同的质数，为互质数；
（4）1和任何自然数互质。两个不同的质数互质。一个质数和一个合数，这两个数不是倍数关系时互质。不含相同质因数的两个合数互质；
（5）任何相邻的两个数互质；
（6）任取出两个正整数他们互质的概率（最大公约数为一）为6/π^2。
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质数，在《数论》上习惯称为素数（也叫做，不可约数），是一类特殊的整数。
素数被定义为：
只能被 1 和 自身整除的 正整数，但 1 除外。
（由于整数关于 0 对称，于是只要将正整数部分的研究清楚了，负整数也就清楚了，因此一般不讲负素数。）
数学家发现，任何一个正整数（1 除外），都可以唯一的表示为有限个素数的乘积，每个素数称为该整数的素因子，整个乘积称为该整数的素因子分解。例如：
6 = 2×3
当然，素因子可以重复，例如：
12 = 2 × 2 × 3
因为 如果 1 也是素数，则：
6 = 2×3 = 1×2×3 = 1 × 1 ×2×3 = ...
于是，为了，素因子分解结果唯一，我们不得不让 1 排除在 素数 之外。
素数可以理解为：乘法运算中不可再分解的数，而加法中不可再分解的数只有1。我们可以通过1不断相加得到所有正整数，同样我们可以通过素数相互不断相乘得到所有正整数（1除外）。
从正整数中找到素数是首要的问题！可以直接根据定义，一个个数判断，但这样太慢，数学家一般使用从正整数中排除不是素数的数（称为合数，1除外）的办法，称为筛选法。
如果，正整数 a > 1 的 素因子分解 为：
a = p₁ × p₂ × ... × pᵣ
则，一定存在一个素因子 p ∈
使得 p ≤ ʳ√a。这个很显然！如果，每个pᵢ > ʳ√a，则 p₁ × p₂ × ... × pᵣ >( ʳ√a)ʳ = a，矛盾。而我们知道，素数在做素因子分解时，只有一个因子，即它自己，例如：
3 = 3
而合数 最少 两个，例如：
6 = 2×3
于是 合数 a 必然存在 素因子 p ≤ √a。
于是，我们需要找出 N 内的 素数，只需要 找到 √N 内的素数，然后 用这些 素数 去判断 √N 到 N 之间的 正整数 是否是 合数，将是合数的删掉，剩下的就是 素数。这称为 Eratoschenes（埃拉托斯特尼） 筛选法。实例如下：
我们先找到 10 以内的 素数：2，3，5，7；然后 对 10 到 10² = 100 进行筛选：
用 2 筛掉：11, 12, ... , 99, 100；
用 3 筛掉：11, 13, 15, 17, ... , 97, 99；
用 5 筛掉：11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 35, ..., 95, 97；
用 7 筛掉：11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, ..., 91, 97；
于是得到：11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97；有了 100 以内 的素数，然后，对 100 到 100² = 10000 进行筛选 ...
（其实，在具体用 p 进行筛选时，只需要从 p² 开始筛选就可以了，因为 小于 p² 的数，如果具有 p 因子，则 一定具有 小于 p 的素因子，这已经被之前的小于 p 的素因子筛掉了。）
（头条里多位老师也给出了自己的筛选法，大家可以参考借鉴！）
那么，我们使用 筛选法是否可以将 素数 筛完呢？答案是不可能，因为：
素数有无穷多个。
这是一个著名定理，证明如下：
假设，素数有限，记为 p₁, p₂, ..., pᵣ 。现在，令 a = p₁ × p₂ × ... × pᵣ + 1，显然 a 不是任意 一个 素数，且 大于 2， 于是 a 必然是合数，于是存在 素数 pᵢ | a （| 表示 整除）。而 pᵢ 是 p₁, p₂, ..., pᵣ 中的一员，于是 pᵢ | p₁ × p₂ × ... × pᵣ，进而 pᵢ | (a - p₁ × p₂ × ... × pᵣ) ，即 pᵢ | 1，于是 pᵢ = 1，而 pᵢ 是素数 必然 pᵢ > 1，矛盾。将素数从 小到大排列，记为，
p₁ = 2, p₂ = 3, p₃ = 5, ...
数学家发现：
pᵣ ≤ 2^{2ʳ⁻¹}
因为：
上面那个定理的证明过程，还说明，在 pᵣ 到 a = p₁ × p₂ × ... × pᵣ + 1 之间必然有 一个 素数 pᵣ₊₁，即，
pᵣ₊₁ ≤ p₁ × p₂ × ... × pᵣ + 1，
利用这个结果，进行如下证明：
● 当 r = 1 时，显然 p₁ = 2 ≤ 2^{2¹⁻¹} = 2¹ = 2，定理成立；
● 如果 当 r ≤ i 时，命题成立，即，
p₁ ≤ 2^{2⁰}, p₂ ≤ 2^{2¹}, ..., pᵢ ≤ 2^{2ⁱ⁻¹}，
则 当 r = i + 1 时，根据 前面的 不等式，有：
pᵢ₊₁ ≤ p₁ × p₂ × ... × pᵣ + 1 ≤ 2^{2⁰} × 2^{2¹} × ... ×2^{2ⁱ⁻¹} + 1 = 2^{2⁰ + 2¹ + ... + 2ⁱ⁻¹} + 1 = 2^{2ⁱ - 1} + 1 ≤ 2^{2ⁱ - 1} + 2^{2ⁱ - 1} = 2 × 2^{2ⁱ - 1} = 2^{2ⁱ}；归纳得证。如果，将不超过 x 的 素数个数，记为 π(x)，则上面的命题等价于：
π(x) > log₂(log₂x)
因为：
对于任意 x ≥ 2 ，显然有 唯一正整数 r 使得：
2^{2ʳ⁻¹} ≤ x < 2^{2ʳ}，
● 由上面的左边不等式得到：π(2^{2ʳ⁻¹}) ≤ π(x) ，而前面已经证明了 pᵣ ≤ 2^{2ʳ⁻¹}，而 到 pᵣ 的素数 当然是 r 个 所以：r ≤ π(2^{2ʳ⁻¹})，于是，最终有：
r ≤ π(x)，
● 由上面的右边不等式得到：
log₂(log₂x) < r，
综上可到：log₂(log₂x) < π(x)。素数的定义虽然很简单，但是确意想不到的麻烦！数学家至今依然没有找到素数在正整数中的准确分布规律。
（杨老师<@杨式素数>，在这方面很有研究，大家有兴趣可以去他那里请教。）
（黎曼猜想有助于解决素数分布问题！）
（退而求其次，数学家还发明的 伪素数的概念：
如果 n | 2ⁿ - 2，称 n 为 伪素数，如果 对于任意 整数 a 都有 n | aⁿ - a 称 n 为 绝对伪素数。
关于，伪素数分布 也是一个研究方向。）
除了 2 其它素数都是 奇数，2 是最小的素数，3 是最小的奇数素数。
两个相邻的奇数如果都是素数称为孪生素数，例如：3 和 5，5 和 7 ， 11 和 13， ...。
三个相邻奇数是素数的情况，只能是： 3，5，7 这一种情况，因为：
假设，相邻三个相邻奇数，a, b, c > 3 都是素数，其中 b = a + 2，c = a + 4。由于 a 是素数，因此 3 ∤ a（∤ 表示 不能整除）于是 a = 3n + 1 或 3n + 2。
● 当 a = 3n + 1 时，b = a + 2 = 3n + 1 + 2 = 3n + 3 = 3(n+1)，显然 3 | b，故 b 不是素数，矛盾；
● 当 a = 3n + 2 时，c = a + 4 = 3n + 2 + 4 = 3n + 6 = 3(n + 2)，显然 3 | c，故 c 不是素数，矛盾；以上证明，也说明了三个以上相邻的奇数是素数不可能。
于是，研究特殊的 孪生素数 就有了价值。但是 比 素数 还不争气，数学家连孪生素数是否有无穷多个都没办法证明。
（数学家 张益唐 在这方面取得了 巨大突破！）
最后，和素数相关的一个概念是 两个整数 a, b 互素，即 a， b 之间 a ∤ b 并且 b ∤ a，两个素数一定互素，例如：
3, 5
但两个 合数 也可以 互素，例如：
9, 25
互素在代数里也同样至关重要。
互质数是什么意思举个例子互质数具有以下定理：（1）两个数的.公因数只有1的两个非零自然数,叫做互质数；举例：2和3，公因数只有1，为互质数；（2）多个数的若干个最大公因数只有1的正整数，叫做互...
2022-08-22 09:00:58
